Cos'è funzione caratteristica?

Funzione Caratteristica

La funzione caratteristica è uno strumento potente nell'analisi di probabilità e statistica, che fornisce un modo alternativo per descrivere completamente la distribuzione di probabilità di una variabile casuale. È sempre definita, al contrario della funzione generatrice dei momenti, che potrebbe non esistere per tutte le distribuzioni.

Formalmente, la funzione caratteristica di una variabile casuale X è definita come il valore atteso di e^itX, dove t è un numero reale ed i è l'unità immaginaria. In altre parole:

φ_X(t) = E[e^itX] = E[cos(tX) + i sin(tX)]

A seconda che la variabile casuale sia discreta o continua, il valore atteso si calcola come:

• Discreta: φ_X(t) = ∑ e^itx P(X = x)
• Continua: φ_X(t) = ∫ e^itx f_X(x) dx

dove P(X = x) è la funzione di massa di probabilità per la variabile discreta e f_X(x) è la funzione di densità di probabilità per la variabile continua.

Proprietà importanti:

• Unicità: La funzione caratteristica determina univocamente la distribuzione di probabilità. Se due variabili casuali hanno la stessa funzione caratteristica, allora hanno la stessa distribuzione.

• Continuità: La funzione caratteristica è uniformemente continua per ogni t reale.

• Valore in zero: φ_X(0) = 1

• Simmetria: Se X è simmetrica attorno a zero, allora φ_X(t) è reale e pari (φ_X(t) = φ_X(-t)).

• Linearità: Se Y = aX + b, dove a e b sono costanti, allora φ_Y(t) = e^itb φ_X(at).

• Momenti: La funzione caratteristica può essere usata per calcolare i momenti della distribuzione. Se esiste la derivata n-esima di φ_X(t) in t=0, allora E[Xⁿ] = (-i)ⁿ φ_X⁽ⁿ⁾(0).

• Funzione Caratteristica della Somma di Variabili Casuali Indipendenti: Se X₁, X₂, ..., X_n sono variabili casuali indipendenti, e Y = X₁ + X₂ + ... + X_n, allora φ_Y(t) = φ_X1(t) φ_X2(t) ... φ_Xn(t). Questa è una delle proprietà più utili, in particolare per dimostrare teoremi limite come il teorema del limite centrale.

Inversione:

La distribuzione di probabilità può essere recuperata dalla funzione caratteristica tramite la formula di inversione. La forma precisa della formula varia a seconda del tipo di variabile casuale (continua o discreta).

Applicazioni:

• Dimostrazione di teoremi limite: Come menzionato, la funzione caratteristica è fondamentale per dimostrare il teorema del limite centrale e altre leggi dei grandi numeri.

• Analisi di distribuzioni complesse: Può semplificare l'analisi di distribuzioni che sono difficili da trattare direttamente, specialmente quando si lavora con somme di variabili casuali indipendenti.

• Inferenza statistica: La funzione caratteristica può essere utilizzata in alcuni problemi di inferenza statistica, come la stima dei parametri.